1. 趣味生活常识网首页
  2. 投稿

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)

1、幂函数的概念

一般地,函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-1

叫做幂函数,其中是自变量,是常数;其定义域是使

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-2

有意义的值的集合。

例1、已知幂函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-3

,且当

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-4

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-5

为减函数。求幂函数的解析式。

分析:正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白幂函数的定义是解题的关键。

解答:由于

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-6

为幂函数,

所以

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-7

,解得

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-8

,或

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-9

当时,

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-10

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-11

在上为减函数;

当时,

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-12

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-13

在上为常函数,不合题意,舍去。

故所求幂函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-14

的解析式为

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-15

2、幂函数的图象和性质

图象:

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-16

性质:

(1)所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点;

(2)如果

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-17

,则幂函数的图象过点

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-18

和,并且在区间

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-19

上是增函数;

(3)如果

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-20

,则幂函数的图象过点,并在区间上是减函数。在第一象限内,当从

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-21

趋向于原点时,图象在

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-22

轴右方无限地逼近轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴;

(4)当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数。

例2、比较

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-23

,,

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-24

的大小。

分析:先利用幂函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-25

的增减性比较与的大小,再根据幂函数的图象比较与的大小。

解答:

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-26

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-27

而在上单调递增,且

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-28

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-29

。故

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-30

例3、若函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-31

在区间

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-32

上是递减函数,求实数m的取值范围。

分析:本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。

函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-33

是一个比较常用的幂函数,它也叫做反比例函数,其定义域是

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-34

,是一个奇函数,对称中心为(0,0),在

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-35

和上都是递减函数。一般地,形如

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-36

的函数都可以通过对

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-37

的图象进行变换而得到,所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。

解答:由于

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-38

,所以函数的图象是由幂函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-1

的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到的,所以其图象如图所示。

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-40

其单调递减区间是

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-41

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-42

,而函数在区间

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-43

上是递减函数,所以应有

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-44

例4、若点

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-45

在幂函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-46

的图象上,点

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-47

在幂函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-48

的图象上,定义

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-49

,试求函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-50

的最大值及其单调区间。

分析:首先根据幂函数的定义求出

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-51

,然后在同一坐标系下画出函数和的图象,得出

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-52

的函数图象,最后根据图象求出最大值和单调区间。

解答:设

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-53

,因为点在的图象上,所以

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-54

,所以

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-55

,即;

又设

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-56

,点在的图象上,所以

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-57

,所以

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-58

,即

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-59

在同一坐标系下画出函数和的图象,如图所示,则有

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-60

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-61

根据图象可知函数的最大值等于

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-62

,其单调递增区间是(

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-63

,-1)和(0,1);单调递减区间是

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-64

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-65

例5、已知幂函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-66

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-67

是偶函数,且在上是减函数,求函数的解析式,并讨论

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-68

的奇偶性。

分析:先根据单调性求出m的取值范围,再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-69

的奇偶性时要注意对字母的讨论。

解答:由在上是减函数得

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-70

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-71

。∵

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-72

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-73

0,1。

又因为是偶函数,∴只有当

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-74

时符合题意,故

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-75

于是

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-76

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-77

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-78

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-79

时,为非奇非偶函数;

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-80

且时,为奇函数;

当且

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-81

时,为偶函数;

当且时,为既奇又偶函数。

例6、已知幂函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-82

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-83

上是增函数,且在定义域上是偶函数。

(1)求的值,并写出相应的函数的解析式;

(2)对于(1)中求得的函数,设函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-84

。问是否存在实数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-85

,使得函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数?若存在,请求出

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-86

的值;若不存在,请说明理由。

分析:第一问先根据单调性求出的取值范围,再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。

解答:(1)∵幂函数

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-87

在上是增函数,∴

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-88

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-89

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-90

,∴

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-91

∵在定义域上是偶函数,∴只有当

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-92

时符合题意,故。

(2)由,则

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-93

假设存在实数,使得满足题设条件。令

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-94

,则

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-95

∵在上是减函数,∴当

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-96

时,

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-97

;当

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-98

时,

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-99

若在区间上是减函数,且在区间上是增函数,则

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-100

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-101

上是减函数,且在

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-102

上是增函数,此时二次函数的对称轴方程是

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-103

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-104

幂函数的性质(高中数学之幂函数的概念图象和性质)-105

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容,请发送邮件至87172970@qq.com举报,一经查实,本站将立刻删除。

发表评论

登录后才能评论