1、幂函数的概念
一般地，函数
叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使
有意义的值的集合。
例1、已知幂函数
，且当
时
为减函数。求幂函数的解析式。
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。
解答：由于
为幂函数，
所以
，解得
，或
。
当时，
，
在上为减函数；
当时，
，
在上为常函数，不合题意，舍去。
故所求幂函数
的解析式为
。
2、幂函数的图象和性质
图象：
性质：
（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；
（2）如果
，则幂函数的图象过点
和，并且在区间
上是增函数；
（3）如果
，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。在第一象限内，当从
趋向于原点时，图象在
轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴；
（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。
例2、比较
，，
的大小。
分析：先利用幂函数
的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小。
解答：
而在上单调递增，且
，
。故
。
例3、若函数
在区间
上是递减函数，求实数m的取值范围。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。
函数
是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是
，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在
和上都是递减函数。一般地，形如
的函数都可以通过对
的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。
解答：由于
，所以函数的图象是由幂函数
的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。
其单调递减区间是
和
，而函数在区间
上是递减函数，所以应有
。
例4、若点
在幂函数
的图象上，点
在幂函数
的图象上，定义
，试求函数
的最大值及其单调区间。
分析：首先根据幂函数的定义求出
，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出
的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。
解答：设
，因为点在的图象上，所以
，所以
，即；
又设
，点在的图象上，所以
，所以
，即
。
在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，则有
。
根据图象可知函数的最大值等于
，其单调递增区间是（
，－1）和（0，1）；单调递减区间是
和
。
例5、已知幂函数
是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式，并讨论
的奇偶性。
分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论
的奇偶性时要注意对字母的讨论。
解答：由在上是减函数得
，
。∵
，
0，1。
又因为是偶函数，∴只有当
时符合题意，故
。
于是
，
。
当
且
时，为非奇非偶函数；
当
且时，为奇函数；
当且
时，为偶函数；
当且时，为既奇又偶函数。
例6、已知幂函数
在
上是增函数，且在定义域上是偶函数。
（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数，设函数
。问是否存在实数
，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由。
分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。
解答：（1）∵幂函数
在上是增函数，∴
∴
又
，∴
∵在定义域上是偶函数，∴只有当
时符合题意，故。
（2）由，则
。
假设存在实数，使得满足题设条件。令
，则
。
∵在上是减函数，∴当
时，
；当
时，
。
若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则
在
上是减函数，且在
上是增函数，此时二次函数的对称轴方程是
即
，
∴
。
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请发送邮件至87172970@qq.com举报，一经查实，本站将立刻删除。
相关推荐
-
刘畊宏回应卖假燕窝风波，向消费者道歉：新团队会更加严谨把关
辛巴发长文爆料刘畊宏夫妇卖假货引发热议，一时间把刘畊宏推上浪尖。 8月31日，刘畊宏新旧公司针对卖假货一事做出回应，其本人也就选品不严谨向受到损害的消费者道歉，称连夜找到了两年前的…
-
古代男生名字怎么取的（常用的方式有5种真懂得用的人不多）
在我们的传统观念里，取名是一件很严肃的事，因为大家都是名字跟命运有联系，甚至有些地方认为，名字在某种程度上决定着人一生命运。 这种认识不能说完全正确，但也有一定的道理。正因为如此，…
-
定向博士和非定向博士有什么区别（关于在职博士、定向博士须知）
1 在职博士是什么？ 答：在职博士是指学习方式相对脱产形式而言，既通过正常入学考试（统考或单考）取得入学资格，在培养单位教学或培养方案许可的情况下，一边工作一边学习的博士生。 2 …
-
采取哪些措施可以促进扦插苗生根（教你几种能让插条快速生根的小方法）
扦插繁殖就是选用植物的某一个部分作为繁殖成新的完整植株的一种繁殖方法。通常可选用根、茎、叶等，将其插入土壤、混配基质、沙床等基质材料中，使生根、发芽成为新的完整植株的个体。扦插繁殖…
-
齐家文化玉器种类大全（齐家文化玉器的历史文化渊源解读）
齐家文化遗址分布于黄河上游的甘肃临夏地区。它同众多古代文化遗址 一起，共同孕育了辉煌的黄河文明。齐家文化中的玉器，以其特有的浑雄拙 朴、磅礴大气、多姿多彩，向人们传递着四千多年前史…
-
新疆常见的葡萄品种大全（新疆葡萄的主要乡土品种介绍）
新疆葡萄栽培历史悠久，品种资源十分丰富，约600多个品种。有无核白、马奶子、百家干、木纳格、黑葡萄、和田红、喀什哈尔、粉红太妃等，尤以无核白最为名贵，皮薄肉嫩，汁多味甜，素有“珍珠…
-
空调防尘罩买哪种材质好（空调主机防尘罩材料选择指南）
随着现代科技的发展，空调已经成为了我们生活中不可或缺的一部分。在炎热的夏季，空调带给我们清凉舒适的环境，让我们在室内度过每一个愉快的时光。然而，我们在享受空调带来的便利的同时，是否…
-
李姓来源于哪里（中国第二大姓李姓的来龙去脉）
中华姓氏文化，在我国有着数千年的历史。姓氏出现的时间，几乎与文字诞生时间相近。最早的姓氏，来源于氏族、图腾和贵族封地，到了后来，姓氏与宗族、家族有关。到宋朝的时候，《百家姓》成为启…
-
大熊猫的外貌特征（熊猫的外貌特征英文）
憨态可掬的大熊猫。 资料图片 滩涂上的弹涂鱼。 李东明摄 金丝猴在神农架国家公园大龙潭金丝猴野外研究基地活动。 新华社记者 肖艺九摄 在南山国家公园(位于湖南省邵阳市城步苗族自治县…
-
武陵李氏起源于哪里（一文简述湖北李氏家族来源与分布）
“我李百万叶，柯条遍中州”。李姓分布地域遍布神州，史籍载李氏郡望存13个之多……。 唐代大诗人李白曾以李姓人多名望而作诗曰：“我李百万叶，柯条遍中州”。可见唐代时期，李姓的分布已经…
