1、幂函数的概念
一般地,函数
叫做幂函数,其中是自变量,是常数;其定义域是使
有意义的值的集合。
例1、已知幂函数
,且当
时
为减函数。求幂函数的解析式。
分析:正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式,一般用待定系数法,弄明白幂函数的定义是解题的关键。
解答:由于
为幂函数,
所以
,解得
,或
。
当时,
,
在上为减函数;
当时,
,
在上为常函数,不合题意,舍去。
故所求幂函数
的解析式为
。
2、幂函数的图象和性质
图象:
性质:
(1)所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点;
(2)如果
,则幂函数的图象过点
和,并且在区间
上是增函数;
(3)如果
,则幂函数的图象过点,并在区间上是减函数。在第一象限内,当从
趋向于原点时,图象在
轴右方无限地逼近轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴;
(4)当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数。
例2、比较
,,
的大小。
分析:先利用幂函数
的增减性比较与的大小,再根据幂函数的图象比较与的大小。
解答:
而在上单调递增,且
,
。故
。
例3、若函数
在区间
上是递减函数,求实数m的取值范围。
分析:本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。
函数
是一个比较常用的幂函数,它也叫做反比例函数,其定义域是
,是一个奇函数,对称中心为(0,0),在
和上都是递减函数。一般地,形如
的函数都可以通过对
的图象进行变换而得到,所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。
解答:由于
,所以函数的图象是由幂函数
的图象先向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到的,所以其图象如图所示。
其单调递减区间是
和
,而函数在区间
上是递减函数,所以应有
。
例4、若点
在幂函数
的图象上,点
在幂函数
的图象上,定义
,试求函数
的最大值及其单调区间。
分析:首先根据幂函数的定义求出
,然后在同一坐标系下画出函数和的图象,得出
的函数图象,最后根据图象求出最大值和单调区间。
解答:设
,因为点在的图象上,所以
,所以
,即;
又设
,点在的图象上,所以
,所以
,即
。
在同一坐标系下画出函数和的图象,如图所示,则有
。
根据图象可知函数的最大值等于
,其单调递增区间是(
,-1)和(0,1);单调递减区间是
和
。
例5、已知幂函数
是偶函数,且在上是减函数,求函数的解析式,并讨论
的奇偶性。
分析:先根据单调性求出m的取值范围,再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论
的奇偶性时要注意对字母的讨论。
解答:由在上是减函数得
,
。∵
,
0,1。
又因为是偶函数,∴只有当
时符合题意,故
。
于是
,
。
当
且
时,为非奇非偶函数;
当
且时,为奇函数;
当且
时,为偶函数;
当且时,为既奇又偶函数。
例6、已知幂函数
在
上是增函数,且在定义域上是偶函数。
(1)求的值,并写出相应的函数的解析式;
(2)对于(1)中求得的函数,设函数
。问是否存在实数
,使得函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数?若存在,请求出
的值;若不存在,请说明理由。
分析:第一问先根据单调性求出的取值范围,再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。
解答:(1)∵幂函数
在上是增函数,∴
∴
又
,∴
∵在定义域上是偶函数,∴只有当
时符合题意,故。
(2)由,则
。
假设存在实数,使得满足题设条件。令
,则
。
∵在上是减函数,∴当
时,
;当
时,
。
若在区间上是减函数,且在区间上是增函数,则
在
上是减函数,且在
上是增函数,此时二次函数的对称轴方程是
即
,
∴
。
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