f(x)在x=x0处可导的充要条件（fx在x0处连续的充要条件）

阿瑞 • 2022年4月22日 18:56:03 • 自然百科 • 阅读 2189

大家好，今天讨论的内容是隐函数和由参数方程所确定的导数及函数的微分，那你知道函数和由参数方程所确定的导数及函数的微分，没关系，学霸来帮你来啦！

一、单侧导数

根据函数f(x)在点x0出的导数f'(x0)的定义，导数

是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等，因此f'(x0)存在即f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左右极限

都存在且相等。这两个极限分别称函数f(x)在点x0出的左导数和右导数记住

即

现在可以说，函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。

左导数和右导数统称为单侧导数。

如果函数f(x)在开区间（a,b）内可导，且左导数和右导数都存在，那么就说f(x)在[a,b]上可导。

二、隐函数的导数

先看看什么是显函数和隐函数：

显函数：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值是，由这式子能确定对应的函数值。如y=sin x,y=ln (x+2)

隐函数：一般地，如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x取区间内任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。如e^y+xy-e=0。

隐函数对x求导：

①直接对x求导法：把y看成常数，直接用公式对x求导，y不变。

②两边取对数求导法：这种方法适用于含有幂指数函数。两边先取对数，再进行求导。

三、由参数方程所确定的函数导数

参数方程：

一般地，若参数方程

确定的y与x的函数关系，则称此函数关系所表达的函数由参数方程所的函数

参数方程的导数：

四、相关变化率

设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而变化率

间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率

五、微分的定义及几何意义

①定义：

设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，如果函数的增量

△y=f(x0+△x)-f(x0)

可表示为

△y=A△x+o(△x)

其中A是不依赖于△x的常数，那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而A△x叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量△x的微分，记住dy，即

dy＝A△x

②几何意义：

对于可微函数y=f(x)而言，当△y是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的质量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当|△x|很小时，|△y-dy|比|△x|小得多。用切线段来代替曲线线段。

六、基本初等函数的微分运算

①.基本初等函数的微分公式

微分公式和导数公式差不多，是微分的形式，在结果后面乘上dx

②.函数的和、差、积、商的微分法则：

1. d( u± v)=du ± dv

2. d(Cu)=C du

3. d(uv)=vdu + udv

4. d(u/v)=(vdu-udv)/ ((v)^2) (v≠0)

③.复合函数的微分法则：

设y=f(u)及u=g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的微分为

dy=y’ dx=f'(u)g'(x)dx。

由于

dy=f'(u)du 或 dy=y’du

所以，复合函数y=f[g(x)的微分公式也可写成。

由此可见，无论u是自变量还是中间变量，微分形式dy=f'(u)du保持不变，这一性质称为微分形式不变形。

七、微分在近似计算中的应用

函数的近似计算（1）定义： f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0).（2）近似公式（和等价无穷小公式差不多）： ①(1+x)^α≈1+αx （α∈R）; ②sin x≈x （x用弧度单位来表达）; ③tan x≈x （x用弧度单位来表达）; ④e^x≈1+x; ⑤ln (1+x)≈x误差估计①间接测量误差由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也有误差，我们把它叫做间接测量误差。 ②绝对误差如果某个量的精确值为A，它的近似值为α，那么|A-a|叫做α的绝对误差，

③相对误差

而绝对误差与|a|的比值 |A-a| / |a| 叫做相对误差

以上内容就是今天的内容，纯属个人的总结观点，不代表官方的观点。

f(x)在x=x0处可导的充要条件（fx在x0处连续的充要条件）

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