基础题
1.已知A={x|3-3x>0},则下列各式正确的是( )
A.3∈A B.1∈A
C.0∈A D.-1∉A
2.已知P={x|2<x<a,x∈N},已知集合P中恰有3个元素,则整数a=________.
集合的表达方法:
①列举法:如集合A={a,b,c,d},其中a≠b≠c≠d
②描述法:如集合A={x|x+2=3 }或A={x|a< x<b }等。
③图示法(Venn图):为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合。
错误的表示方法:A={x=a}、A={a,a}
1.下列四个集合中,不同于另外三个的是( )
A.{y|y=2} B.{x=2}
C.{2} D.{x|x ^2-4x+4=0}
2.下列命题中正确的( )
①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.
A.只有①和④ B.只有②和③
C.只有② D.以上语句都不对
3.用列举法表示集合{x|x^2-2x+1=0}为( )
A.{1,1} B.{1}
C.{x=1} D.{x^2-2x+1=0}
4.已知集合A={1,a^2},实数a不能取的值的集合是________.
5.已知集合A={1,x,x^2-x},B={1,2,x},若集合A与集合B相等,求x的值.
6.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )
A.0 B.2
C.3 D.6
三、解答题
1.选择适当的方法表示下列集合集.
(1)由方程x(x^2-2x-3)=0的所有实数根组成的集合;
(2)大于2且小于6的有理数;
(3)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.
2.设A表示集合{a^2+2a-3,2,3},B表示集合{2,|a+3|},已知5∈A且5∉ B,求a的值.
能力提升
一、选择题(中)
1、(2014•湖北,3,中)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁uC”是A∩B=Ø的()
A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件
C 充要条件 D既不充分也不必要的条件
2、已知集合U=A∪B中有m个元素, ∁uA∪∁uB中有n个元素,若A∩B 非空,则A∩B元素的个数为多少?
3、(2015湖北,中)已知集合 A={(x,y)|x ^2 +y ^2≤1,x,y∈Z},
B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为( )
A.77 B.49 C.45 D.30
假设非空集合A中含有n个元素,则有:
A的子集个数为2 ^n
A的真子集的个数为2 ^n -1
A的非空子集的个数为2 ^n -1
A的非空真子集的个数为2 ^n -2
例1、设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )
A.57 B.56 C.49 D.8
例2、设U=R,集合A={x|x^2 +3x+2=0},B={x|x^2+(m+1)x+m=0}.若(∁uA)∩B=∅,试求实数m的值。
易错题
易错点一:空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。空集不是无;它是内部没有元素的集合。并且Ø⊆{Ø}
1、已知集合A{2,3},则子集个数为(),真子集个数为()
A 2 4 B 3 2 C 2 6 D 4 3
2、若集合A={x|ax^2-3x+2=0}的子集只有两个,则a满足()
A a<9/8 B a>9/8 C a=0 D a=0或a= 9/8
易错点二:当集合A⊆B时,集合A可能是空集,也可能不是,所以要分类讨论
3、设全集为R,A={x|2x^2-7x+3≤0},B={x|x^2+a<0}
(1)若a=-4,求A∩B和A∪B
(2)若∁RA∩B=B,求实数a的取值范围
企业单位常考题(容斥原理)
一、两个集合
1、A∪B=A+B-A∩B
集合中空白部分=A+B-2(A∩B)
如:全班有22人,参加A活动的有10人,参加活动B的有15人,即参加A也参加B的有5人。
①即参加A也参加B的为:A∩B
②只参加一项活动的为:“空白”处的人数A+B-2(A∩B)。
③即只参加一项活动的为:10+15-2×5=15人
④一项活动都没参加的为:(总人数)-(A∪B)
例题:有68名人,45人是硕士,30人是博士,12人即是博士,也是硕士,则两者都不是的有多少人()
解析:所求为68- [(45+30)-12]=5
二、三个集合
由图可知,在A∪B∪C中,绿色部分重复两次,红色部分重复三次。
求A∪B∪C,则需要减去一次绿色,减去两次红色。
①A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
(A+B+C-A∩B时包含减去红色部分A∩B∩C一次,同理A+B+C- A∩C也减去红色A∩B∩C一次,A+B+C- B∩C减去红色一次,所以共减去三次红色,而只需减去两次红色部分,所以最后需要加上一次A∩B∩C)
由①知:红色部分为:②A∩B∩C=A∪B∪C-(A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C)
空白处部分:③ A+B+C-[2A∩B+2A∩C+2B∩C-3A∩B∩C]
例如:有很多人参加A、B、C三种比赛,则
①三种比赛都参加的为:红色部分A∩B∩C=A∪B∪C-(A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C)
②一种比赛都没参加的为:总人数-A∪B∪C
③只参加一项的为空白部分:A+B+C-[2A∩B+2A∩C+2B∩C-3A∩B∩C]
例1、有18人参加A、B、C三个项目比赛,有8人参加A,10人参加B,12人参加C,有4人参加A和B,6人参加B和C,5人参加A和C,有2人参加A、B、C,求只参加1个项目的人。
例2、某班共有27人参加数学、物理、化学兴趣小组,其中参加数学兴趣小组的有21人,参加化学兴趣小组的有10人,参加物理兴趣小组的有17人,同时参加数学、物理兴趣小组的有12人,参加数学、化学兴趣小组的有6人,三个兴趣小组都参加的有2人.问同时参加化学、物理兴趣小组的有几人?( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
例3、有300道题用于三张试卷,其中A试卷中出现110道题,B试卷中出现160道题,C试卷中出现100道题,在两份试卷中同时出现的有70道题,在三份试卷中同时出现的有25道题,问有多少题没有出现。
习题答案
基础题:
1.已知A={x|3-3x>0},则下列各式正确的是( )
A.3∈A B.1∈A
C.0∈A D.-1∉A
解析:集合A表示不等式3-3x>0的解集.显然3,1不满足不等式,而0,-1满足不等式,故选C.
1.已知P={x|2<x<a,x∈N},已知集合P中恰有3个元素,则整数a=________.
解析:用数轴分析可知a=6时,集合P中恰有3个元素3,4,5.
1.下列四个集合中,不同于另外三个的是( )
A.{y|y=2} B.{x=2}
C.{2} D.{x|x^2-4x+4=0}
解析:{x=2}表示的是由一个等式组成的集合.故选B.
2.下列命题中正确的( )
①0与{0}表示同一个集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方程(x-1)(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.
A.只有①和④ B.只有②和③
C.只有② D.以上语句都不对
解析:{0}表示元素为0的集合,而0只表示一个元素,故①错误;
②符合集合中元素的无序性,正确;③不符合集合中元素的互异性,错误;④中元素有无穷多个,不能一一列举,故不能用列举法表示.故选C.
3.用列举法表示集合{x|x^2-2x+1=0}为( )
A.{1,1} B.{1}
C.{x=1} D.{ x^2-2x+1=0}
解析:集合{x|x^2-2x+1=0}实质是方程x^2-2x+1=0的解集,此方程有两相等实根,为1,故可表示为{1}.故选B.
4.已知集合A={1,a^2},实数a不能取的值的集合是________.
解析:由互异性知a^2≠1,即a≠±1,
5.已知集合A={1,x,x^2-x},B={1,2,x},若集合A与集合B相等,求x的值.
解析:因为集合A与集合B相等,
所以x^2-x=2.∴x=2或x=-1.
当x=2时,与集合元素的互异性矛盾.
当x=-1时,符合题意.
∴x=-1.
6.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )
A.0 B.2
C.3 D.6
解析:依题意,A*B={0,2,4},其所有元素之和为6,故选D.
三、解答题
1.选择适当的方法表示下列集合集.
(1)由方程x(x^2-2x-3)=0的所有实数根组成的集合;
(2)大于2且小于6的有理数;
(3)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.
解析:(1)方程的实数根为-1,0,3,故可以用列举法表示为{-1,0,3},当然也可以用描述法表示为{x|x(x^2-2x-3)=0},有限集.
(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个,故不能用列举法表示该集合,但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|2<x<6},无限集.
(3)用描述法表示该集合为
M={(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N}或用列举法表示该集合为
{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.
2.设A表示集合{a^2+2a-3,2,3},B表示集合{2,|a+3|},已知5∈A且5∉ B,求a的值.
解析:因为5∈A,所以a^2+2a-3=5,
解得a=2或a=-4.
当a=2时,|a+3|=5,不符合题意,应舍去.
当a=-4时,|a+3|=1,符合题意,所以a=-4.
能力提升
一、选择题(中)
1、(2014•湖北,3,中)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁uC”是A∩B=Ø的()
A充分而不必要的条件 B必要而不充分的条件
C 充要条件 D既不充分也不必要的条件
解答:充分性:由图可知,若存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC,则可以推出A∩B=∅;
必要性:如图,若A∩B=∅,可知,存在A⊆C,同时满足B⊆∁UC.
故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件.
2、已知集合U=A∪B中有m个元素, ∁uA∪∁uB中有n个元素,若A∩B 非空,则A∩B元素的个数为多少?
解析:解法一:如图,U=A∪B中有m个元素,
黄色表示∁uB,红色表示∁uA,且∁uA∪∁uB中有n个元素
所以A∩B中有m-n个元素
解法二:∁u(A∩B)= ∁uA∪∁uB ,∁u(A∪B)= ∁uA∩∁uB 得∁u(A∩B)=n,则A∩B=m-n
3、(2015湖北,中)已知集合A={(x,y)|x^2+ y^2≤1,x,y∈Z},
B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为( )
A.77 B.49 C.45 D.30
解法一(不推荐):
∵A={(x,y)|x^2+ y^2≤1,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),
B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,-1),(1,-2)(2,0),(2,1),(2,2)(2,-1),(2,-2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-2,-2),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2)}
∵A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},
∴A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2)(1,-1),(1,-2)(2,0),(2,1),(2,2),(2,-1),(2,-2),(-1,-2),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-2,-2),(-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),
(-2,3),(-2,-3),(0,-3),(2,-3),(-1,3),(-1,-3),(1,3),(2,3),(0,3),(3,-1),(3,0)(3,1),(3,2),(3,-2)(-3,2)(-3,1),(1,-3),(-3,-1),(-3,0),(-3,-2)}共45个元素;
解法二:因为集合A={(x,y)|x^2+ y^2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5个元素,即图中圆中的整点,B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},中有5×5=25个元素,即图中正方形ABCD中的整点,A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点(除去四个顶点),即7×7-4=45个.
解法三(推荐):当x1=0时,y1可取一1,0,1,y2和x2可取-2,-1,0,1,2.
此时x1+x2的值为-2,-1,0,1,2;y1+y2的值为-3, -2,-1,0,1,2,3
∴(x1+x2,y1+y2)共有5×7=35(个).
当x1=1时,y1=0,x2和y2可取一2,-1,0,1,2,
此时x1+x2的值为-1,0,1,2,3;y1+y2的值为-2,-1,0,1,2.其中x1+x2取-1,0,1,2时与上面重复,
∴x1+x2=3,y1+y2的值为 2,-1,0,1,2. 则(x1+x2,y1+y2)共有5×1=5(个) 。
当x1=-1时,y1=0(同x1=1,y1=0时), x2和y2可取一2,-1,0,1,2,
此时x1+x2的值为-3,-2,-1,0,1;y1+y2的值为-2,-1,0,1,2.
其中x1+x2取-1,0,1,-2时与上面重复,
∴x1+x2=-3,y1+y2的值为 2,-1,0,1,2,则(x1+x2,y1+y2)共有5×1=5(个)
∴总个数为35+5+5=45答案C
例1、设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )
A.57 B.56 C.49 D.8
解析:
集合A的子集有:2^6=64 个
又S∩B≠∅,B={4,5,6,7,8},
所以S不能为包含1,2,3子集的集合,共2^3=8:即{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅共8个,
则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是64-8=56.
例2、设U=R,集合A={x|x^2+3x+2=0},B={x|x^2+(m+1)x+m=0}.若(∁uA)∩B=∅,试求实数m的值。
解析:由x^2+3x+2=0得(x+1)(x+2)=0。所以x=-1或x=-2
A={-1,-2}
由x^2+(m+1)x+m=0得(x+m)(x+1)=0。所以x=-m或x=-1
(∁uA)∩B=空集
∁uA={x|x≠-1且x≠-2}
所以B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}
当B={-1}时,m=1
当B={-2}时,则-(m+1)=-2+(-2)=-4且m=-2*(-2)=4这两者不能同时成立,故矛盾.(x1*x2=c/a,x1+x2=-b/a)
当B={-1,-2时},-(m+1)=-1+(-2)=-3且m=-1*(-2)=2这两者能同时成立,m=2
所以m=1或m=2
易错题
易错点一:空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。空集不是无;它是内部没有元素的集合。并且Ø⊆{Ø}
1、已知集合A{2,3},则子集个数为(),真子集个数为()
A 2 4 B 3 2 C 2 6 D 4 3
解析:子集{2}{3}{2,3}{Ø},真子集{2}{3}{Ø}
2、若集合A={x|ax^2-3x+2=0}的子集只有两个,则a满足()
A a<9/8 B a>9/8 C a=0 D a=0或a= 9/8
解析:空集是任何集合的子集,所以ax^2-3x+2=0只有一个解。当a=0时满足,当△=0时,即a= 9/8时满足
易错点二:当集合A⊆B时,集合A可能是空集,也可能不是,所以要分类讨论
3、设全集为R,A={x|2x^2-7x+3≤0},B={x|x^2+a<0}
(1)若a=-4,求A∩B和A∪B
(2)若∁RA∩B=B,求实数a的取值范围
解析:A={x|2x^2-7x+3≤0}={x| 1/2 ≤x≤3} B={x|x^2+a<0}
(1)若a=-4,则B={x|x^2-4<0}={x|-2<x<2},所以A∩B={x| (1 )/(2 ) ≤x<2}
A∪B={x|-2<x≤3}
(2)错解: ∁RA ={x|x<1/2或x>3}
因为∁RA∩B=B,说明B是∁RA的子集
而B={x|-√(-a)<x<√(-a)},所以a<0且√(-a)<1/2
综上,- 1/4<a<0
正解:∁RA ={x|x<1/2或x>3}
因为∁RA∩B=B,说明B是∁RA的子集
当B=空集时,a≥0符合
当B≠空集时 B={x|-√(-a)<x<√(-a)}
所以√(-a)≤ 1/2,那么- 1/4≤a<0
综上,实数a的取值范围是{a|a≥- 1/4}
企业单位常考题(容斥原理)
例题:有68名人,45人是硕士,30人是博士,12人即是博士,也是硕士,则两者都不是的有多少人()
解析:所求为68- [(45+30)-12]=5
例1、有18人参加A、B、C三个项目比赛,有8人参加A,10人参加B,12人参加C,有4人参加A和B,6人参加B和C,5人参加A和C,有2人参加A、B、C,求只参加1个项目的人。
解析:只参加一项的为:A+B+C-[2A∩B+2A∩C+2B∩C-3A∩B∩C]
=8+10+12-[2×4+2×6+2×5-2×3]
例2、某班共有27人参加数学、物理、化学兴趣小组,其中参加数学兴趣小组的有21人,参加化学兴趣小组的有10人,参加物理兴趣小组的有17人,同时参加数学、物理兴趣小组的有12人,参加数学、化学兴趣小组的有6人,三个兴趣小组都参加的有2人.问同时参加化学、物理兴趣小组的有几人?( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
解析:三种都参加的为:A∩B∩C=A∪B∪C-(A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C)
即2=27-(48-12-6-物理化学)
解得参加物理、化学的为5人
例3、有300道题用于三张试卷,其中A试卷中出现110道题,B试卷中出现160道题,C试卷中出现100道题,在两份试卷中同时出现的有70道题,在三份试卷中同时出现的有25道题,问有多少题没有出现。
解析: 没出现的为:总数-A∪B∪C=300-[110+160+100-70-2×25]=50
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