双曲线的参数方程讲解（附解双曲线问题两种常用的数学思想）

数学思想是数学的灵魂，是数学研究和解题的指导思想.在解决双曲线问题中最常用如下两种数学思想：

一、参数思想

双曲线中许多问题的解决，往往需要用参数表示某个点的坐标，然后根据题意自然约去参数.

例1（2021·广西玉林）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC//x轴，双曲线y=k/x过A，B两点，过点C作CD//y轴交双曲线于点D，若S△BCD=8，则k的值是______．

【解析】依题意可知：点A和B关于坐标原点O对称，B和C的纵坐标相等，D和C的横坐标相等.因此，

引入参数a，设点A坐标为（a，k/a），则

点B坐标为（-a，-k/a），

点C坐标为（3a，-k/a），

然后得到点D得坐标为（3a，k/3a），

所以BC=3a-(-a)=4a，

DC=k/3a-(-k/a)=4k/3a，

由S△BCD=8，得：

1/2·4a·4k/3a=8，

整理，即得：k=3.

例2（2021·江苏宿迁）如图，点A、B在反比例函数y=k/x（k>0）的图像上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k=__________．

【解析】依题意，点B是AC的中点，所以点B的坐标可以由A、C的坐标所确定，因此引入参数a，b，设点A的坐标为（a，k/a），C（b，0），则由点B是AC的中点，得点B的坐标为（(a+b)/2，k/2a），

因为点B在双曲线y=k/x上，

所以(a+b)/2·k/2a=k，

整理，得：b=3a，

所以点C的坐标为（3a，0），

因为△AOC的面积是12，

所以1/2·3a·k/a=12，

所以k=8.

例3（2021·湖北黄石）如图，A、B两点在反比例函数y=-3/x（x<0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB=2BC，则△AOC的面积是___________．

【解析】设A（m，-3/m），B（n，-3/n），

连接OB，因为AB=2BC，

所以△AOB的面积等于△BOC面积的2倍，

所以△AOC的面积等于△BOC面积的3倍，

因为△AOC与△BOC的底边OC相同，

所以△AOC的底边OC上高是△BOC的底边OC上的高的3倍，

所以点A的纵坐标是点B纵坐标的3倍，

所以-3/m=3·（-3/n），n=3m，

所以点B的坐标为（3m，-1/m），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A，B的坐标代入，

解之，得：k=1/m^2，b=-4/m，

所以y=1/m^2x-4/m，

令y=0，得：x=4m，

所以点C的坐标为（4m，0），

所以△AOC的面积=1/2·|4m|·|-3/m|=6.

二、数形结合思想

双曲线中的不等关系问题，一般需要先用代数的精确计算两者相等的情形，然后观察图象的位置关系，利用图象的直观性解决不等关系问题.

例4（2021·重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y=x+|-2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

x	…	-2	-1	0	1	2	3	4	5	…
y	…	6	5	4	a	2	1	b	7	…

（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m=______，a=______，b=______；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；

（3）已知函数y=16/x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|-2x+6|+m>16/x的解集．

【解析】（1）选择表格中一组数据（0，4），代入y=x+|-2x+6|+m，得：

4=0+6+m，m=-2；

所以y=x+|-2x+6|-2，

当x=1时，a=1+|-2+6|-2=3；

当x=4时，b=4+|-8+6|-2=4，

所以m=-2，a=3，b=4；

（2）x=3时，函数值y最小等于1；

或当x<时，y随x的增大而减小；

或当x>3时，y随x的增大而增大；

（3）不等式x+|-2x+6|+m>16/x的解集就是

函数y=x+|-2x+6|+m的图象（折线）在y=16/x的图象上方部分所有点的横坐标的集合（即自变量x的取值范围），

因为y=x+|-2x+6|+m的图象与y=16/x的图象交于点A（4，4），

所以根据图象易知：折线在双曲线上方部分图象有两段，一段在原点O的左侧，其自变量x的取值范围是x<0；另一段在交点A的右侧，其自变量取值范围是x>4，

所以不等式x+|-2x+6|+m>16/x的解集是

x<0或x>4.

例5（2021·四川广元）如图，点A（-2，2）在反比例函数y=k/x的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM=ON=5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接OA、OP．当S△OAD<S△OPE时，x的取值范围是________．

【解析】根据点A的坐标易知：k=-4，S△OAD=2，

根据图形及题意可知：如果点P在双曲线上，则S△OPE=2，而S△OAD<S△OPE，即S△OPE>2，

根据图形的直观性可知：

当点P应位于双曲线BC段的下方时，S△OPE>2，

所以欲求x的取值范围，必须先求B、C的横坐标.

因为M（5，0），N（0，-5），

设线段MN的解析式为y=ax-5（0≤x≤5），

把M（5，0）代入，得：

0=5a-5，a=1，所以y=x-5，

又双曲线为y=-4/x，联立y=x-5，

消去y，整理，得：

x2-5x+4=0，

(x-1)(x-4)=0，x=1或4，

所以点B，C的横坐标为1，4，

所以x的取值范围是1<x<4.

例6（2021·四川自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y=-8x/(x^2+4)的图象，并探究其性质．列表如下：

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	8/5	24/13	a	8/5	0	b	-2	-24/13	-8/5	…

（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

（2）观察函数y=-8x/(x^2+4)的图象，判断下列关于该函数性质的命题：

①当-2≤x≤2时，函数图象关于直线y=x对称；

②x=2时，函数有最小值，最小值为-2；

③-1<x<1时，函数y的值随x的增大而减小．

其中正确的是_________；（请写出所有正确命题的序号）

（3）结合图象，请直接写出不等式8x/(x^2+4)>x的解集是________.

【解析】（1）a=2，b=-8/5（图象如图所示）；

（2）当-2≤x≤2时，判断函数y=-8x/(x^2+4)的图象是否关于直线y=x对称？只需在图象上任取一点，然后判断该点关于直线y=x对称点是否也在该函数图象上即可.比如取点（-1，8/5），该点关于直线y=x对称点为（8/5，-1），易知该点不在函数y=-8x/(x^2+4)的图象上，所以①错误；

由图象直观性易知，该函数的最小值为-2，所以②正确；

由图象直观性易知，当-1<x<1时，

函数值y随x增大而减小，

所以的最小值为-2，所以③正确；

故正确的序号是②③；

（3）画出函数y=x的图象，不等式8x/(x^2+4)>x的解就是函数y=8x/(x^2+4)的图象位于直线y=x上方部分图象所有点的横坐标的集合，

由图象直观性易知两函数图象相交于点（0，0），

在该点的左边，函数y=8x/(x^2+4)的图象位于直线y=x上方，

所以函数y=8x/(x^2+4)的图象位于直线y=x上方的解集是x<0.