等价无穷小替换公式的使用条件（什么情况下不能用等价无穷小替换）

梅吉尔 • 2022年5月12日 18:55:12 • 投稿 • 阅读 719

牛顿283、无穷小等价替换定理；用泰勒展开式推导等价无穷小公式

低阶无穷小（百度百科）：…

…阶，无、穷、无穷，小，无穷小：见《牛顿280、281》…

称一个函数是无穷小量，一定要说明自变量的变化趋势。例如x^2-4在x→2时是无穷小量，而不能笼统说x^2-4是无穷小量。

…函、数、函数：见《欧几里得52》…

（…《欧几里得》：小说名…）

…量：见《欧几里得27》…

…变、化、变化：见《伽利略10》…

（…《伽利略》：小说名…）

…^：乘方…

…x^2：x的平方…

无穷小的比较

…比、较、比较：见《牛顿114》…

观察无穷小比值的极限：

…极、限、极限：见《欧几里得178》…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围

v.限制；限定；限量；减量…]

两个无穷小比值极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于0的“快慢”程度。

…反、映、反映：见《欧几里得22》…

在x→0 的过程中，x^2→0 比 3x→0 “快些”，反过来，3x→0比x^2→0 “慢些”，而sin x→0与x→0“快慢相仿”。

…过、程、过程：见《欧几里得194》…

为了应用上的需要，我们就无穷小之比的极限存在、或为无穷大时，给出下面的比较定义。

…应、用、应用：见《欧几里得181》…

…定、义、定义：见《欧几里得28》…

定义，设α及β都是同一个自变量的变化过程中的无穷小。

…α：Alpha（大写Α，小写α，中文音译：阿尔法、阿拉法），是第1个希腊字母…

…β：beta（大写Β，小写β，中文音译：贝塔），是第2个希腊字母…

如果Iim（β/α）=0，就说β是比α高阶的无穷小，记为β=0（α）；

如果Iim（β/α）= ∞，就说β是比α低阶的无穷小；

如果Iim（β/α）= c≠0，就说β与α是同阶无穷小；

如果Iim（β/α）= 1，就说β与α是等阶无穷小，记为β~α；

同阶无穷小（百度百科）：…

同阶无穷小量，其主要对于两个无穷小量的比较而言，意思是两种趋近于0的速度相仿。

…速、度、速度：见《伽利略3》…

例如：

计算极限：lim（1-cosx）/x^2在x→0时，得到值为1/2，则说在x→0时，（1-cosx）与x^2是同阶无穷小。

例如，因为

所以，在 x→3 的过程中，x^2-9 与 x-3是同阶无穷小。意思是在x→3的过程中，（x^2-9）→0与（x-3）→0的快慢一样。

等价无穷小（百度百科）：…

无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于0的速度是相等的。

等价无穷小替换，是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

…计、算、计算：见《欧几里得157》…

…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…

…化：后缀。加在名词或形容词之后构成动词，表示转变成某种性质或状态：绿～。美～。恶～。电气～。机械～。水利～…见《欧几里得2》…

…简：见《欧几里得77》…

求极限时，使用等价无穷小的条件：

1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时，可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

公式

…公：见《欧几里得1》…

…式、公式：见《欧几里得132》…

注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

…推、导、推导：见《欧几里得7》…

“牛顿用“路程的改变量ΔS”与“时间的改变量Δt”之比“ΔS/Δt”表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于0，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。

请看下集《牛顿284、导数又名微商，是微积分中的重要基础概念》”

等价无穷小替换公式的使用条件（什么情况下不能用等价无穷小替换）

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