牛顿315、数学符号min{};证明“两个无穷小的和是无穷小”
2021年1月5日,网友“稻草人”发表名为《极限——极限运算法则证明》的图片文章。
…极、限、极限:见《欧几里得218~303》…
(…《欧几里得》:小说名…)
…运、算、运算:见《欧几里得121》…
…法、则、法则:见《欧几里得108》…
…证、明、证明:见《欧几里得6》…
图片内容:…
…内、容、内容:见《欧几里得66》…
极限运算法则
定理:两个无穷小的和是无穷小(有限个无穷小之和也是无穷小)
…定、理、定理:见《欧几里得2》…
…无、穷、无穷,小,无穷小:见《牛顿280》…
…和:见《牛顿35》…
证明:设α和β是当x→x0时的两个无穷小,根据无穷小的定义,得:
(x→x0)lim α=0,(x→x0)lim β=0
…α:Alpha(大写Α,小写α,中文音译:阿尔法、阿拉法),是第1个希腊字母…
…β:beta(大写Β,小写β,中文音译:贝塔),是第2个希腊字母…
…定、义、定义:见《欧几里得28》…
…lim:limit…
[…limit(英文):n.限度;限制;极限;限量;限额;(地区或地方的)境界,界限,范围
v.限制;限定;限量;减量…]
[无穷小
定义1 (直观定义) 绝对值无限减小的变量称为无穷小。
定义2 (直观定义)
对于任给的正数ε(无论它多么小),总存在正数M,使得不等式|x|>M的一切x对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-f(x0)|<ε,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。
定义3
对于任给的正数 ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得不等式0<|x-x0|<δ的一切x对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-f(x0)|<ε,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。
——《牛顿314》]
再根据极限的定义(如上图)得:
对于∀(任意)ε>0,∃(存在)δ1>0,当0<|x-x0|<δ1时,有|α-0|<ε/2
对于∀(任意)ε>0,∃(存在)δ2>0,当0<|x-x0|<δ2时,有|β-0|<ε/2
…∀、∃:见《牛顿309》…
…ε(伊普西龙):希腊字母第五个字母,大写Ε,小写ε,拉丁字母的E是从ε变来…
取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x-x0|<δ时,|α-0|<ε/2,|β-0|<ε/2同时成立。
…min:minute前三个字母…
…minute(英文):n.(名词)分钟;分;一会儿;一会儿的工夫;时刻。
adj.(形容词)极小的;微小的;细微的;细致入微的;详细的…
…min(最小数)(百度百科)2:min在数学中,专指一个区间内最小数。如Fmin≤F≤Fmax…
那个min{,}什么意思?——网友提问
2015-11-19,蓝格岁月:就是取{,}里面最小的值。
……
再根据极限的定义(如上图)得:
对于∀(任意)ε>0,∃(存在)δ1>0,当0<|x-x0|<δ1时,有|α-0|<ε/2
对于∀(任意)ε>0,∃(存在)δ2>0,当0<|x-x0|<δ2时,有|β-0|<ε/2
从而|γ|=|α+β|≤|α|+|β|=ε/2+ε/2=ε
…γ:第三个希腊字母,读做“伽(gā)马”,小写为γ,大写Γ…
也就是说,对∀(任意)ε>0,∃(存在)δ>0,当0<|x-x0|<δ时,有|γ-0|<ε,即(x→x0)lim γ=0
用无穷小定义判断,γ=α+β也是当x→x0时的无穷小。
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